Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_2n．

Answer

（1）根据可类比的得到，然后两式相减得到（an+an-1）（an-an-1-3）=0，再由{an}的各项均为正数，可得到an-an-1=3，再由等差数列的通项公式法可得到答案．
（2）先根据bn=（-1）n+1anan+1，可得到T2n=b1+b2+…+b2n=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，再由等差数列的前n项和公式可得到答案．
【解析】
（1）∵对任意n∈N*，有①当n≥2时，
有②
当①-②并整理得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
而{an}的各项均为正数，所以an-an-1=3．
∴当n=1时，有，解得a1=1或2，
当a1=1时，an=1+3（n-1）=3n-2，此时a42=a2a9成立；
当a1=2时，an=2+3（n-1）=3n-1，此时a42=a2a9不成立；舍去．
所以an=3n-2，n∈N*，
（2）T2n=b1+b2+…+b2n
=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）
=-6a2-6a4-…-6a2n=-6（a2+a4+…+a2n）
=．