Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令 ．用数学归纳法证明：（1-b₁）（1-b₂）…（1-b_n）≥1-（b₁+b₂+…+b_n）；
（3）设，数列{c_n}的前n项和为C_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有成立，求m的最大值．

Answer

（1）根据题中给出的设数列{an}的前n项和为Sn便可求出数列{ }是公差为1的等差数列，将a1=4代入便可求出数列{an}的通项公式；
（2）由，知原不等式即证≥．由数学归纳法进行证明．
（3）先求出数列bn的通项公式，然后求写前n项和Bn的表达式，进而求出的B3n-Bn表达式，然后证明B3n-Bn为递增数列，即当n=2时，B3n-Bn最小，便可求出m的最大值．
【解析】
（1）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是 -=1，所以数列{ }是公差为1的等差数列．
又S1=a1=2a1-22，所以a1=4．
所以=2+（n-1）=n+1，故an=（n+1）•2n．
（2）由（1）知：，
原不等式即证≥．
①n=1时，左==右，故n=1成立；
②假设n=k时，，
则n=k+1时，
=
＞．
故n=k+1时，也成立．综合①②知，原不等式恒成立．
（3）因为bn==log2n2=，则B3n-Bn=+++…+．
令f（n）=++…+，
则f（n+1）=++…++++．
所以f（n+1）-f（n）=++-=+-＞+-=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=+++=．
据题意，＜，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．（8分）