Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（I）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（II）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

Answer

（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；
（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可．
【解析】

（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，
∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，
∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（II）【解析】
过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，
∴A1M⊥平面B1AC．
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，
∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．
设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，

∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为