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(理科)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤...

(理科)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,设数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设manfen5.com 满分网,求数列{bn}的前n项和Tn
(3)设各项均不为0的数列{cn}中,所有满足cm•cm+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{cn}的变号数,若manfen5.com 满分网,求数列{cn}的变号数.
(1)先根据不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素再结合a>0求出a=4,进而代入求出Sn=n2-4n+4;再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{an}的通项公式; (2)先求出数列{bn}的通项,再结合错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn; (3)先根据条件求出数列{cn}的通项,再通过做差求出数列{cn}的增减性,最后结合变号数的定义即可得到结论. 【解析】 (1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素∴△=a2-4a=0⇒a=0或a=4 又由a>0得a=4,f(x)=x2-4x+4 ∴Sn=n2-4n+4 当n=1时,a1=S1=1-4+4=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5 ∴an=(n=1) (n≥2且n∈N)…(5分) (2)∵Tn=① ∴② 由①-②得 ∴Tn=…(10分) (3)由题设cn= ∵n≥3时,cn+1-cn=>0 ∴n≥3时,数列{cn}递增 ∵c4=-=<0 即n≥3时,有且只有一个变号数 又∵c1=-3,c2=5,c3=-3,即c1•c2<0,c2•c3<0. ∴此处变号数有2个. 综上,得数列{cn}共有3个变号数,即变号数为3.…(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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