Question

设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN．

Answer

（1）欲求椭圆方程，只需求出a，b的值即可，根据|MN|=8，且|PM|=2|MF|可得a，c的值，再利用椭圆中，a，b，c的关系就可求出b值．
（2）欲证∠AFM=∠BFN，只需证明直线AF与BF倾斜角互补，即斜率互为负倒数即可，当AB斜率为0时，显然直线AF与BF倾斜角互补，当AB斜率不为0时，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求出x1+x2，x1x2，设出A，B点坐标，把直线AF，BF的斜率用A，B点坐标表示，再根据前面求出的x1+x2，x1x2，化简，即可判断．
解（1）∵|MN|=8∴a=4
，∴
化简得，a2-3ac+2c2=0，两边同除a2，得，

又∵a=4，∴c=2，
∴
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0．满足题意
当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程，整理得（3m2+4）y2-48my+144=0
则
∴=
∴kAF+kBF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综上可知：恒有∠AFM=∠BFN．