Question

已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…f（2010）=    ．

Answer

先将原函数用降幂公式转化为：f（x）=cos（2ωx+2ϕ）++1，由相邻两对称轴间的距离为2可知周期求得ω，由最大值为3，求得A，又由图象经过点（0，2），求得ϕ，进而得f（x）再研究问题．
【解析】
将原函数f（x）=Acos2（ωx+ϕ）+1转化为：f（x）=cos（2ωx+2ϕ）++1
相邻两对称轴间的距离为2可知周期为：4，则2ω=，ω=
由最大值为3，可知A=2
又∵图象经过点（0，2），
∴cos2ϕ=0
∴2∅=kπ+
∴f（x）=cos（ x+kπ+）+2=2±sin（ x）
∵f（1）=2+1，f（2）=0+2，f（3）=-1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+5=4021
或f（1）=2-1，f（2）=0+2，f（3）=1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+3=4019
故答案为：4021或4019