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已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0)点P、Q在双曲线的右支上,支M(m,...

已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0)点P、Q在双曲线的右支上,支M(m,0)到直线AP的距离为1
(Ⅰ)若直线AP的斜率为k,且manfen5.com 满分网,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)当manfen5.com 满分网时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.

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(Ⅰ)设出直线AB的方程,表示出点M到直线AP的距离求得m-1的范围. (Ⅱ)设双曲线方程,由M和A求得|AM|,又因为M是△APQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45°,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1,求得P点坐标,代入椭圆方程求得b,求得双曲线方程. 【解析】 (Ⅰ)由条件得直线AP的方程y=k(x-1), 即kx-y-k=0. 因为点M到直线AP的距离为1, ∵, 即. ∵, ∴, 解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--. ∴m的取值范围是. (Ⅱ)可设双曲线方程为, 由, 得. 又因为M是△APQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45°,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1因此,kAP=1,kAQ=-1(不妨设P在第一象限) 直线PQ方程为 直线AP的方程y=x-1, ∴解得P的坐标是(2+,1+),将P点坐标代入得, 所以所求双曲线方程为, 即.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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