Question

若数列{a_n}满足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常数），则称数列{a_n}为二阶线性递推数列，且定义方程x²=px+q为数列{a_n}的特征方程，方程的根称为特征根； 数列{a_n}的通项公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
②若方程x²=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，进而求得a_n．根据上述结论求下列问题：
（1）当a₁=1，a₂=2，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）时，若数列{a_n+1-λa_n}为等比数列，求实数λ的值；
（3）当a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）时，求S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ的值．

Answer

（1）an+2=4an+1-4an的特征根方程为：x2-4x+4=0解得两个相等的实根x1=x2=2，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：x2-5x+6=0，x1=2，x2=3．所以 an=c1•2n+c2•3n，由得到c1=c2=1，所以 an=2n+3n，再通过分类讨论能求出λ的值．
（3）由，知Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=，由此能求出Sn．
【解析】
（1）an+2=4an+1-4an的特征根方程为：
x2-4x+4=0，
解得两个相等的实根x1=x2=2，…（3分）
所以设通项an=（c1+c2n）•2n，
由a1=1，a2=2可得：
，
所以an=2n-1，n∈N*…（6分）
（2）由an+2=5an+1-6an可知特征方程为：
x2-5x+6=0，x1=2，x2=3…（8分）
所以 an=c1•2n+c2•3n，
由，
得到c1=c2=1，
所以 an=2n+3n，…（9分）
因为{an+1-λan}是等比数列，
所以有（a2-λa1）•（a4-λa3）=（a3-λa2）2λ=2或λ=3…（10分）
当λ=2时，
当λ=3时，同理可得 
所以  λ=2或λ=3…（12分）
（3）同样可以得到通项公式：，…（14分）
所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn
=
=
=
即     …（18分）