Question

已知数列{a_n}满足条件；a₁=1，a₂=r（r＞0）且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N）成立的q的取值范围；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2nn （n∈N），求b_n的表达式；
（3）设{S_n}是数列{b_n}的前n项和，求S_n和 ；
（4）设，求数列{}的最大值与最小值．

Answer

（1）由anan+1=a1a1qn-1=rqn-1，anan+1+an+1an+2＞an+2an+3，知rqn-1+rqn＞rqn+1+q＞q2 即：q2-q-1＜0∴（1-）＜q＜（1+），由此能求出．
（2）由数列{anan+1}是公比为q的等比数列，知，由此能求出bn=qn-1+rqn-1=（1+r）qn-1．
（3）当q=1时，==0；当0q＞1时，==0．由此能求出．
（4）由bn=（1+r）qn-1，知==1+，由此能求出数列{}的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵数列{an}满足条件：a1=1，a1=r，
且数列{anan+1}是公比为q的等比数列，
∴q≠0，r≠0，且anan+1=a1a1qn-1=rqn-1，
∵anan+1+an+1an+2＞an+2an+3，
∴rqn-1+rqn＞rqn+1+q＞q2
即：q2-q-1＜0，
∴（1-）＜q＜（1+），
∵q＞0，
∴．
（2）∵数列{anan+1}是公比为q的等比数列，
∴，
∵a1=1，
∴当n=2k-1时，an=qk-1
∵a2=r，
∴当n=2k时，an=rqk-1．
∵bn=a2n-1+a2n（n∈N），
∴bn=qn-1+rqn-1=（1+r）qn-1．
（3）当q=1时，Sn=n（1+r），
==0；
当0q＞1时，Sn=
==0．
∴=．
（4）∵bn=（1+r）qn-1，
∴==1+，
记，
当n-20.2＞0，即n＞21，n∈N+时，Cn随n的增大而减小，
∴．
当n-20.2＜0，即n≤20，n∈N+时，Cn随n的增大而减小，
∴1＞Cn≥C20=．
综上所述，对任意的自然数n，有C20≤Cn≤C21，
∴数列{}中，n=21时，取最大值，n=20时，取最小值-4．