Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的点，且．
（1）求三棱锥C-BED的体积；
（2）求证：A₁C⊥平面BDE．

Answer

（1）由等体积法可得VC-BED=VE-BCD=，把数据代入运算．
（2）先证明BE⊥面A1B1C，可得 BE⊥A1C，再由由三垂线定理可得BD⊥A1C，得到 A1C⊥平面BDE．
【解析】
（1）VC-BED=VE-BCD===．
（2）证明：长方体中，∵A1B1⊥面BB1C1C，∴A1B1⊥BE，由题意得 B1C⊥BE，故BE 垂直于面A1B1C内的
两条相交直线 A1B1和B1C，∴BE⊥面A1B1C，∴BE⊥A1C．
正方形ABCD中，∵AC⊥BD，AC是A1C在底面内的射影，由三垂线定理可得BD⊥A1C．
这样，A1C垂直于平面BDE内的两条相交直线BE 和BD，故A1C⊥平面BDE．