Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时，f（x）取极小值．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：时，．

Answer

（1）利用奇函数中不含偶次项，得到b=d=0；求出导函数，令导函数在x=1的值为0，令函数在x=1的值为，列出方程组，求出a，c求出解析式．
（2）设出任意两个点，求出该两个点处的导数值，即两条切线的斜率，求出它们的积的范围，得到不可能为-1．
（3）求出f（x）d的解析式，利用基本不等式求出最大值，注意检验等号能否取得．
【解析】
（1）因为，∀x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：，得（3分）
解之得：，c=-1从而，
函数解析式为：（5分）
（2）由于，f'（x）=x2-1，
设：任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，
则这两点的切线的斜率分别是：k1=f'（x1）=x12-1，k2=f'（x2）=x22-1
又因为：-1≤x1≤1，-1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠-1
故，当x∈[-1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直（10分）
（3）当：时，x2∈（0，3）且3-x2＞0此时F（x）=|xf（x）|===
当且仅当：x2=3-x2，即，取等号，故；（14分）