Question

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）若G为PE中点，求证：AG⊥平面PDE
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；
（4）求点C到平面PDE的距离．

Answer

（1）欲证PA⊥平面ABCDE，只需证明PA垂直平面ABCDE上的两条相交直线即可，在三角形PAB中运用勾股定理，可证明PA垂直于AB，在三角形PAE中，同样用勾股定理，可证明PA垂直AE，这样就可证明PA⊥平面ABCDE．
（2）欲证AG⊥平面PDE，只需证明AG垂直于平面PDE中的两条相交直线，在三角形中PA=AE=2a，所以可知AG垂直PE，再通过
ED⊥平面PAE，利用线面垂直的性质，可得AG垂直于DE，则AG⊥平面PDE可证．
（3）欲求二面角A-PD-E的大小，先找到二面角的平面角，利用三垂线定理，因为AG⊥平面PDE，所以只需过G作GH⊥PD于H，连AH，则AH⊥PD，∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．再放入直角△PAE中，求出∠AHG的正弦值．
（4）欲求点C到平面PDE的距离，只需过C点向平面PDE作垂线，但是垂足位置不容易找到，所以可以转化为其它点到平面的距离．证明CF∥DE，则点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离，就可求F到平面PDE的距离．再由（3）中结论知FG⊥平面PDE，所以FG的长即F点到平面PDE的距离，放入△PAE中求出即可．
【解析】
（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a，∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．
（2）∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG．
∵PA=AE，G为PE中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE
（3）∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，
∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．
在直角△PAE中，AG=a．在直角△PAD中，AH=a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG==．
∴二面角A-PD-E的正弦值为．
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC，∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE⊂平面PDE，CF⊄平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则 FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离．
在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG=a．∴点C到平面PDE的距离为a．（或用等体积法求