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已知函数f(x)=alnx-2x (a为常数). (1)当a=1时,求函数f(x...

已知函数f(x)=alnx-2x  (a为常数).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+x2+1有极值点,求实数a的取值范围.
(1)把a=1代入,先求定义域,在求导数,令f′(x)>0,f′(x)<0,求解函数的单调区间. (2)先求导数,由函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,转化成f'(x)≤0在(1,+∞)内恒成立,利用参数分离法即可求出a的范围. (3)函数g(x)=f(x)+x2+1有极值点,即函数的导数等于0至少一解(且导数在点的两侧符号不相同),求出a的范围即可. 【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时, 由f′(x)>0得, 由f′(x)<0,得 ∴f(x)的单调增区间为,单调减区间为-------(4分) (2)f(x)的定义域为(0,+∞),即2x-a>0 ∵函数在(1,+∞)上为单调减函数,∴∴a≤2-----(9分) (3)由题意:g(x)=alnx-2x+x2+1∴, 若函数g(x)有极值点,∵x>0 ∴2x2-2x+a=0有两解且在(0,+∞)至少有一解,----------(11分) 由△=4-8a>0得------①----------(13分) 由2x2-2x+a=0在(0,+∞)至少有一解,得a=-2x2+2x在(0,+∞)至少有一解 设y1=a,y2=-2x2+2x(x>0),则有两图象至少有一个交点, 解得------②----------(15分) 由①②得, 综上:当时函数g(x)有极值点----------(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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