Question

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即OB）为2m，在圆环上设置三个等分点A₁，A₂，A₃．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A₁，A₂，A₃，B均用细绳相连接，且细绳CA₁，CA₂，CA₃的长度相等．设细绳的总长为ym．
（1）设∠CA₁O=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长．

Answer

（1）由于细绳的总长包括CB长及CA1，CA2，CA3的长，，CO=2tanθ，故可表示细绳的总长；
（2）利用导数法求函数的最小值，由于是单峰函数，故极值点就为最值点，所以利用求极值的方法可求最值．
【解析】
（1）在Rt△COA1中，，CO=2tanθ，…（2分）=（）…（7分）
（2），
令y'=0，则…（12分）
当时，y'＞0；时，y'＜0，
∵y=sinθ在上是增函数
∴当角θ满足时，y最小，最小为；此时BC=m       …（16分）