Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且，
（Ⅰ）求a₃，a₄；
（Ⅱ）求a_2k，a_2k-1（k∈N⁺）；
（Ⅲ）设b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意（k∈N⁺）都有b_k+1＞b_k成立．

Answer

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且，
（Ⅰ）由题设条件，分别令n=1和n=2，能求出a3，a4．
（Ⅱ）设n=2k，k∈N*，由题设能导出．由此能求出a2k．设n=2k-1，k∈N*．由，知a2k+1-a2k-1=1．由此能求出a2k-1．
（Ⅲ）bk=a2k+（-1）k-1λ•2k-1=3k+（-1）k-1λ•2k，bk+1-bk=3k+1+（-1）kλ•2k+1-3k-（-1）k-1λ•2k=2•3k+（-1）kλ（2k+1+2k）=2•3k+（-1）kλ•3•2k．由题意，对任意k∈N*都有bk+1＞bk成立，由此能确定λ的值，使得对任意（k∈N+）都有bk+1＞bk成立．
【解析】
（Ⅰ）已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且，
，
，…（2分）
（Ⅱ）①设n=2k，k∈N*，
∵，
又a2=3，
∴．
∴当k∈N*时，数列{a2k}为等比数列．
∴a2k=a2•3k-1=3k．
②设n=2k-1，k∈N*．…（5分）
由，
∴a2k+1-a2k-1=1．
∴当k∈N*时，数列{a2k-1}为等差数列．
∴a2k-1=a1+（k-1）•1=k．…（8分）
（Ⅲ）bk=a2k+（-1）k-1λ•2k-1=3k+（-1）k-1λ•2k
∴bk+1-bk=3k+1+（-1）kλ•2k+1-3k-（-1）k-1λ•2k
=2•3k+（-1）kλ（2k+1+2k）
=2•3k+（-1）kλ•3•2k．
由题意，对任意k∈N*都有bk+1＞bk成立，
∴bk+1-bk=2•3k+（-1）kλ•3•2k＞0对任意k∈N*恒成立，
∴2•3k＞（-1）k-1λ•3•2k对任意k∈N*恒成立．
①当k为奇数时，对任意k∈N*恒成立．
∵k∈N*，且k为奇数，
∴．
∴λ＜1．
②当k为偶数时，对任意k∈N*恒成立．
∵k∈N*，且k为偶数，
∴．∴．
综上，有．
∵λ为非零整数，∴λ=-1．…（14分）