Question

已知点P是椭圆上的动点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则OM的取值范围是    ．

Answer

利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围
【解析】
如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，
∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，
连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1F2中点
∴|OM|=|F2N|=||PN|-|PF2||=||PF1|-|PF2||
∵在椭圆中，设P点坐标为（x，y）
则|PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex，
∴||PF1|-|PF2||=|a+ex+a-ex|=|2ex|=|x|
∵P点在椭圆上，∴|x|∈[0，4]，
又∵当|x|=4时，F1M⊥MP不成立，∴|x|∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案为[0，2）