Question

已知函数f （x）=的反函数为f ^-1（x），若数列{a_n}满足a_n+1=f ^-1（a_n）（n∈N₊）且a₁=．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n-1，求b_n的最大值与最小值．

Answer

（1）先求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再利用等差数列求数列{}的通项，最后求出数列{an}的通项．
（2）由（1）得出bn，进而得到数列bn的通项公式，利用数列的函数性质，得到数列的单调性，即可得数列的最值．
【解析】
（1）由y=得 x=，∴
又an+1=f-1（an）（n∈N+），∴an+1=∵a1=，an+1=，∴an≠0（n∈N+）
∴且
∴{}是以为-2007首项，2为公差的等差数列
∴
∴为所求．（6分）
（2）由（1）知bn=，记g（n）=（2n-2009）（2n-2011）（n∈N+）
当1≤n≤1004时，g（n）单调递减且gmin（n）=g（1004）=3此时bn＞0且bn的最大值为；
当n=1005时，g（n）=-1；
当n≥1006时，g（n）单调递增且gmin（n）=g（1006）=3此时bn＞0且bn的最大值为；
综上：bn的最大值为，最小值为-1．（12分）