已知函数，常数a＞0．（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调...

已知函数

，常数a＞0．
（1）设m•n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

（1）运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：①取值x1，x2∈[m，n]；②作差f（x1）-f（x2）变形；③定号；④下结论；（2）逆向运用函数单调性的定义，我们可以得到：f（m）=m，f（n）=n，转化为方程的根的问题，利用根的判别式，从而求出参数的范围．【解析】（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，，因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[m，n]上单调递增．（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增， f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，即m，n是方程的两个不等的正根⇔a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．所以△=（2a2+a）2-4a2＞0，

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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