Question

已知函数f （x）=4sinx•sin²（+）+2cos²x+1+a，x∈R是一个奇函数．
（1）求a的值和f （x）的值域；
（2）设w＞0，若y=f （wx）在区间[-，]的增函数，求w的取值范围；
（3）设|θ|＜，若对x取一切实数，不等式4+f （x+θ）f （x-θ）＞2f （x）都成立，求θ的取值范围．

Answer

首先将函数化简（1）根据函数是奇函数求出a的值，然后有正弦函数求出值域；
（2）写出函数f （wx）的式子，然后根据正弦函数的单调性求出x的范围，进而根据区间[-，]的增函数，求出w的取值范围；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）并化简和求出最小值，再利用sin2θ＜，求出结果．
【解析】
化简得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）⇒a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
-+2kπ≤wx≤2kπ+k∈Z
-+≤x≤+

⇒0＜w≤
综上以上，0＜w≤（8分）
（3）|θ|＜，x∈R时
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin2x-sinx+1＞sin2θ恒成立
（sin2x-sinx+1）min=
∴sin2θ＜
-＜sinθ＜θ∈（-，）
∴θ∈（-，）（13分）