Question

如图，F₁，F₂是椭圆（a＞b＞0）上的焦点，P为椭圆上的点，PF₁⊥OX轴，且OP和椭圆的一条长轴顶点A和短轴顶点B的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率e
（2）若Q是椭圆上任意一点，证明∠F₁QF₂≤
（3）过F₁与OP垂直的直线交椭圆于M，N，若△M F₂N的面积为，求椭圆方程．

Answer

（1）根据题意可表示出MP坐标，进而表示出直线OP的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的关系进而求得a和c的关系，则离心率可得．
（2）利用椭圆的定义可表示出|F1Q|+|F2Q|，进而利用余弦定理表示出cos∠F1QF2，利用基本不等式可得cos∠F1QF2的范围进而求得∠F1QF2的范围．
（3）设出直线MN的方程，代入椭圆方程消去x整理后利用韦达定理表示出y1+y2和y1•y2，进而求得|y1-y2|代入三角形面积公式求得求得c，进而可分别求得a和b，则椭圆的方程可得．
【解析】
（1）易得 ，
∴，
∴．
（2）证明：由椭圆定义得：|F1Q|+|F2Q|=2a，
所以
=，
因为，
∴，
∴．
（3）【解析】
设直线MN的方程为 （x+c），即y=．
代入椭圆方程消去x得：，
整理得：，
∴．
∴．
因为，
所以c2=25
因此a2=50，b2=25，
所以椭圆方程为 ．