Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），若对于任意nÎN^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）在（1）条件下，记为正数数列{x_n}的调和平均数，若d_n=，S_n为数列{d_n}的前n项之和，H_n为数列{S_n}的调和平均数，求；
（3）已知正数数列{c_n}的前n项之和．求T_n表达式．

Answer

（1）先求出函数y=f（x）的反函数y=f-1（x），根据bn=f-1（n）可求出p，即可求出an；
（2）先求出dn，然后求出sn，根据Hn为数列{Sn}的调和平均数，可求出Hn的关系式，从而求出；
（3）先根据正数数列{cn}的前n项之和求出c1，当n≥2时，cn=Tn-Tn-1，所以Tn2-Tn-12=n，然后利用叠加法求出Tn表达式即可．
【解析】
（1）由题意的：f-1（x）==f（x）=，所以p=-1，（2分）
所以an=（3分）
（2）an=，，（4分）
sn为数列{dn}的前n项和，，（5分）
又Hn为数列{Sn}的调和平均数，
所以（8分）
（10分）
（3）因为正数数列{cn}的前n项之和
所以解之得：c1=1，T1=1（11分）
当n≥2时，cn=Tn-Tn-1，所以
即Tn2-Tn-12=n（14分）
所以，T2n-1-T2n-2=n-1，T2n-2-T2n-3=n-2，…T22-T12=2累加得：
Tn2-T12=2+3+4+…+n2（16分）
，（18分）