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已知函数f(x)=ax2+4x-2,若对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有. ...

已知函数f(x)=ax2+4x-2,若对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)(理)对于给定的非零实数a,求最小的负数M(a),使得x∈[M(a),0]时,-4≤f(x)≤4都成立;
(Ⅲ)(理)在(Ⅱ)的条件下,当a为何值时,M(a)最小,并求出M(a)的最小值.
(Ⅱ)(文)求最小的实数b,使得x∈[b,1]时,f(x)≥-2都成立;
(Ⅲ)(文)若存在实数a,使得x∈[b,1]时,-2≤f(x)≤3b都成立,求实数b的取值范围.
(I)由已知中函数f(x)=ax2+4x-2,我们求出的解析式,并根据判断其符号,即可得到实数a的取值范围; (Ⅱ)(理)由已知中函数f(x)=ax2+4x-2的解析式,结合(I)的结论,我们可得对称轴,我们分和,两种情况进行分类讨论,最后综合讨论结果,即可得到答案. (III)(理)由(2)知,当0<a<2,. 当a≥2,.  我们根据分段函数分段处理的原则,分别求出各段上函数的最小值,即可得到,M(a)的最小值-3. (II)(文)由已知中当x∈[b,1]时,f(x)≥-2都成立,结合f(0)=-2,易得b≥0,进而得到b的最小值; (Ⅲ)(文)由(Ⅱ)中的结论可知b≥0,进而可以判断出函数f(x)在区间[b,1]上为增函数,进而根据x∈[b,1]时,-2≤f(x)≤3b都成立,构造关于b的不等式,解不等式,即可得到实数b的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)∵ = =, ∵x1≠x2, ∴a≥0. ∴实数a的取值范围为[0,+∞). (Ⅱ)(理)∵, 显然f(0)=-2,对称轴. (1)当,即0<a<2时,,且f[M(a)]=-4. 令ax2+4x-2=-4,解得, 此时M(a)取较大的根,即, (2)当,即a≥2时,,且f[M(a)]=4. 令ax2+4x-2=4,解得, 此时M(a)取较小的根,即, (Ⅲ)(理) 由(2)知, 当0<a<2,. 此时 M(a)>-1 当a≥2,.  此时 M(a)≥-3(当且仅当a=2时,取等号) ∵-3<-1, ∴当a=2时,M(a)取得最小值-3. (Ⅱ)(文)∵f(0)=-2 由x∈[b,1]时,f(x)≥-2都成立 ∴b≥0 ∴b的最小值为0 (Ⅲ)(文)由(Ⅱ)知  b≥0 ∴f(x)在[b,1]上为增函数, ∴f(1)≤3b 即:a+4-2≤3b 又 由(Ⅰ)a≥0 ∴
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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