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若数列{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003....

若数列{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是:( )
A.4005
B.4006
C.4007
D.4008
对于首项大于零的递减的等差数列,第2003项与2004项的和大于零,积小于零,说明第2003项大于零且2004项小于零,且2003项的绝对值比2004项的要大,由等差数列前n项和公式可判断结论. 【解析】 ∵a1>0,a2003+a2004>0,a2003.a2004<0, ∴首项大于零的递减的等差数列, ∴ = >0, 故选B 解析: 解法1:由a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,知a2003和a2004两项中有一正数一负数,又a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故a2003>a2004,即a2003>0,a2004<0. ∴S4006==>0, ∴S4007=•(a1+a4007)=4007•a2004<0, 故4 006为Sn>0的最大自然数.选B. 解法2:由a1>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,同解法1的分析得a2003>0,a2004<0, ∴S2003为Sn中的最大值. ∵Sn是关于n的二次函数,如草图所示, ∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小, ∴在对称轴的右侧. 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧,4 007,4 008都在其右侧,Sn>0的最大自然数是4 006.
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