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已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个...

已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,求实数m的值.
解法一设出直角三角形的两个锐角,得到两个锐角之间的三角函数之间的关系,写出一元二次方程的判别式,根据判别式恒大于0,得到方程的根的情况,得到结果. 解法二根据两个根式锐角三角形的两个锐角,再表示出两个方程的根,得到锐角α的余弦值,进而得到结果. 【解析】 解法一:设直角三角形的两个锐角分别为α、β,则可得α+β= ∴cosα=sinβ---(2分) ∵方程4x2-2(m+1)x+m=0中,△=4(m+1)2-4•4m=4(m-1)2≥0 ∴当m∈R,方程恒有两实根. 又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=,cosα•cosβ=sinβcosβ=------(6分) ∴由以上两式及sin2β+cos2β=1,得1+2•=()2解得m=±------(8分) 当m=时,cosα+cosβ=>0,cosα•cosβ=>0,满足题意, 当m=-时,cosα+cosβ=<0,这与α、β是锐角矛盾,应舍去. 综上,m=------(10分) 解法二:设直角三角形的两个锐角分别为α、β,则可得α+β= ∴cosα=sinβ---(2分) 方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根为----------(6分) 所以cosα=,所以α=60且β=30----------(8分) cosβ=cos30°=,所以m=----------(10分).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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