解法一设出直角三角形的两个锐角,得到两个锐角之间的三角函数之间的关系,写出一元二次方程的判别式,根据判别式恒大于0,得到方程的根的情况,得到结果.
解法二根据两个根式锐角三角形的两个锐角,再表示出两个方程的根,得到锐角α的余弦值,进而得到结果.
【解析】
解法一:设直角三角形的两个锐角分别为α、β,则可得α+β=
∴cosα=sinβ---(2分)
∵方程4x2-2(m+1)x+m=0中,△=4(m+1)2-4•4m=4(m-1)2≥0
∴当m∈R,方程恒有两实根.
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=,cosα•cosβ=sinβcosβ=------(6分)
∴由以上两式及sin2β+cos2β=1,得1+2•=()2解得m=±------(8分)
当m=时,cosα+cosβ=>0,cosα•cosβ=>0,满足题意,
当m=-时,cosα+cosβ=<0,这与α、β是锐角矛盾,应舍去.
综上,m=------(10分)
解法二:设直角三角形的两个锐角分别为α、β,则可得α+β=
∴cosα=sinβ---(2分)
方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根为----------(6分)
所以cosα=,所以α=60且β=30----------(8分)
cosβ=cos30°=,所以m=----------(10分).