Question

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求常数p的值；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=S_n+λa_n，（n∈N*）若数列{b_n}从第二项起每一项都比它的前一项大，求λ的取值范围．

Answer

（1）由a1=1及把n=1代入到递推公式中2Sn=2pan2+pan-p可求p
（2）由2Sn=2an2+an-1，可得2Sn-1=2an-12+an-1-1（n≥2），两式相减整理可得 （an+an-1）（2an-2an-1-1）=0
结合已知数列{an}各项均为正数可得，，由等差数列的通项公式可求
（3）由题意可得数列{bn}是递增即bn+1＞bn对n∈N*恒成立，由（2）可得，＞0恒成立，化简成λ＞-（n+2）恒成立，从而可求
【解析】
（1）由a1=1及2Sn=2pan2+pan-p（n∈N*），得：2=2p+p-p∴p=1…（4分）
（2）由2Sn=2an2+an-1①
得2Sn-1=2an-12+an-1-1（n≥2，n∈N*） ②
由①-②得   2an=2（an2-an-12）+（an-an-1）
即：2（an+an-1）（an-an-1）-（an+an-1）=0∴（an+an-1）（2an-2an-1-1）=0
由于数列{an}各项均为正数，
∴2an-2an-1=1即  （n≥2，n∈N*）…（6分）
∴数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，∴数列{an}的通项公式是   …（9分）
（3）由题意，数列{bn}是递增的，bn+1＞bn，即bn+1＞bn对n∈N*恒成立，
由（2）可得，＞0恒成立，
∴λ＞-（n+2）恒成立，
∴λ＞-3．