Question

定义在R的函数f（x）满足：①对任意的实数x、y∈R有f（x+y）=f（x）•f（y）．②当x＞0时，f（x）＞1，数列
（1）求f（0），并判断f（x）的单调性；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）令b_n是最接近求T₁₀₀₀．

Answer

（1）由f（x+y）=f（x）•f（y），令x=1，y=0即可求出f（0），再利用函数单调性定义证明函数为R上的增函数
（2）由a1=f（0）得a1=1，由及函数单调性，可得地推公式an+1-an=1，最后由等差数列通项公式得通项公式an
（3）令bn=k（k∈N*）是最接近得正整数，即，求得当n=1000时，k的范围，再求这32项之和即可
【解析】
（1）由f（x+y）=f（x）•f（y），令x=1，y=0，
则f（1）=f（1）•f（0），所以f（1）[f（0）-1]=0，∵x＞0时，f（x）＞1，则f（1）≠0，所以只能f（0）=1，
由①知 f（x）•f（-x）=f（0）=1∵x＞0时，f（x）＞1，则x＜0时，f（x）＜1，所以x∈R，有f（x）＞0
任取x1＜x2，则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）•f（x2-x1）
∵x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞1，又f（x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在R上为增函数．
（2）由a1=f（0）得a1=1，因为，得f（an+1）•f（-1-an）=1=f（0），
由f（x）在R上为增函数及f（x+y）=f（x）•f（y），得an+1-1-an=0，即an+1-an=1，
∴{an}为等差数列，首项为1，公差为1，
∴an=n
（3）令bn=k（k∈N*）是最接近得正整数，即，平方，因为k，n均为正整数，所以k2-k+1≤n≤k2+k，所以满足bn=k的正整数n有k2+k-（k2-k+1）+1=2k个，所以312＜1000＜322，==