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已知抛物线x2=2y的焦点为F,准线为l,过l上一点P,作抛物线的两条切线,切点...

已知抛物线x2=2y的焦点为F,准线为l,过l上一点P,作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,某数学兴趣小组在研究讨论中,提出如下两个猜想:
①直线PA、PB垂直;
②等式manfen5.com 满分网中λ为常数;现请你进行一一验证这两个猜想是否成立.
①要证直线PA、PB垂直,只需证相应斜率为-1; ②分别用坐标表示向量,分别计算,,可得λ=-1. 【解析】 ①由题意,可设点P(t,-0.5).A(2a,2a2).B(2b,2b2).对2y=x2求导得:y'=x.易知;,,即a,b满足2x2+0.5=4x2-2tx.∴2x2-2tx-0.5=0.∴ab=. 又两切线PA,PB的斜率为2a,2b.而2a×2b=4ab=-1.故PA,PB垂直. ②, ∴ ∵P(a+b,-),∴,∴ ∴ ∴ ∴λ=-1
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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