Question

已知数列{a_n}中，S_n表示前n项和，如果a_n＞0，a_n+2=2．求证数列{a_n}为等差数列．

Answer

根据题意可得：8Sn=（an+2）2=an2+4an+4，利用仿写的方法得到8an=an2+4an-an-12-4an-1，进行整理可得an-an-1=4=常数，进而结合等差数列的定义即可得到答案．
证明：由题意可得：数列{an}中有an+2=2，
所以8Sn=（an+2）2=an2+4an+4…①
所以当n≥2时有：8Sn-1=（an-1+2）2=an-12+4an-1+4…②
由①-②可得：8an=an2+4an-an-12-4an-1，
所以整理可得：4（an+an-1）=（an-an-1）（an+an-1），
因为an＞0，即an+an-1＞0
所以an-an-1=4=常数，
所以由等差数列的定义可得：数列{an}为等差数列．
故数列{an}为等差数列．