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已知≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值M(a),最...

已知manfen5.com 满分网≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值M(a),最小值N(a),设g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的解析式;
(2)判断g(a)单调性,求g(a)的最小值.
(1)根据已知条件a>0,知函数是二次函数,其图象是开口向上的抛物线.因此讨论对称轴:x=与区间[1,3]的关系,得到函数的单调性后再找出相应的最值,即可得g(a)的解析式; (2)通过求导数,讨论其正负,可得到函数g(a)在区间[,]上单调减,而在(,1]上单调增,因此不难得出 g(a)的最小值为g()=. 【解析】 (1)当≤a≤时N(a)=f(),M(a)=f(1), 此时g(a)=f(1)-f()=a+-2; 当<a≤1时N(a)=f(),M(a)=f(3), 此时g(a)=f(3)-f()=9a+-6; ∴g(a)=      …(6分) (2)当≤a≤时,∵g(a)=a+-2,∴g′(a)=1-<0, ∴g(a)在[,]上单调递减. 同理可知g(a)在(,1]上单调递增 ∴g(a)min=g()=.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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