Question

如图，ABCD是边长为2的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=1，G是EF的中点．
（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．

Answer

（1）由题意可得：CB⊥面ABEF，所以有CB⊥AG，CB⊥BG，根据线段的长度关系可得：AB2=AG2+BG2，即可得到AG⊥BG，再利用面面垂直的判断定理可得面面垂直．
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，所以∠BGH是BG与平面AGC所成的角，即∠CGB为所求角，进而利用解三角形的有关知识求出答案．
【解析】
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴CB⊥AB．
∵二面角C-AB-F是直二面角，
∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB⊂面ABEF，
∴CB⊥AG，CB⊥BG，…（2分）
又∵AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴，
∴AG⊥BG．…（4分）
∵CB∩BG=B，
∴AG⊥平面GBC，
又∵AG⊂面ACG，
∴平面AGC⊥平面BGC．…（6分）
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，
所以∠BGH是BG与平面AGC所成的角，即∠CGB为所求角，…（8分）
因为G为EF的中点，并且BE=1，EF=2，
所以BG=．
在Rt△BCG中，BC=2，BG=，所以CG=，
所以．…（12分）