Question

设椭圆的一个顶点为（0，），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

Answer

（1）由椭圆的顶点为（0，）和e==，能求出椭圆的标准方程．
（2）分情况讨论：斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2，=4．若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），|MN|=|x1-x2|=．|AB|=|x3-x4|，由此能证明=4为定值．
【解析】
（1）椭圆的顶点为（0，），即b=，
e==，所以a=2，
∴椭圆的标准方程为+=1        …（4分）
（2）斜率不存在，l的方程为x=1，|MN|=3，|AB|=2，=4．
若直线斜率存在，则设直线l方程为y=k（x-1），设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），
由（2）可得：|MN|=|x1-x2|==．
由 消去y，并整理得x2=，
|AB|=|x3-x4|=4 ，
∴=4为定值．