Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值

Answer

法一（Ⅰ）证明平面PDC内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线PA，AD，即可证明CD⊥平面PAD，推出平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，说明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，说明∠DCH是直线与平面所成的角，解三角形DCG，求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）利用，，推出CD⊥AD，CD⊥AP，说明CD⊥平面PAD，证明平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）求出平面AEC的法向量，平面ABC的法向量，利用求解即可．
（Ⅲ平面的法向量是，求出，利用，求出直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
【解析】
法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABC，
∴PA⊥CD．（2分）
∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
而PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．（4分）
CD⊂平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，
则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．（7分）
由PA=2，则EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=．
因为O是AD的中点，所以．（8分）
而EO=1，由勾股定理可得．（9分）．（10分）

（Ⅲ）延长AE，过D作DG垂直AE于G，连接CG，
又∵CD⊥AE，∴AE⊥平面CDG，
过D作DH垂直CG于H，则AE⊥DH，
所以DH⊥平面AGC，即DH⊥平面AEC，
所以CD在平面ACE内的射影是CH，∠DCH是直线与平面所成的角．（12分）
∵．CD=2
∴．
∴．（14分）
解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），E（0，2，1），P（0，0，2）．（2分）
∴=（2，0，0），=（0，4，0），=（0，0，2），=（-2，0，0），
=（0，2，1），=（2，4，0）． （3分）
（Ⅰ）∵，∴CD⊥AD．
又∵，∴CD⊥AP．（5分）
∵AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
而CD⊂平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）
（Ⅱ）设平面AEC的法向量=（x，y，z），令z=1，则．
由即
∴=．（9分）
平面ABC的法向量=（0，0，2）.．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是．（11分）
（Ⅲ）因为平面的法向量是=，而=（-2，0，0）．
所以．（13分）
直线CD与平面AEC所成角的正弦值．（14分）