Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是以10为首项，以-2为公差的等差数列；a_m+1，a_m+2，…，a_2m是以为首项，以为公比的等比数列（m≥3，m∈N^*）；并且对一切正整数n，都有a_n+2m=a_n成立．
（1）当m=3时，请依次写出数列{a_n}的前12项；
（2）若a₂₃=-2，试求m的值；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，问是否存在m的值，使得S_128m+3≥2008成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）等差数列通项公式岙an=10+（n-1）（-2）=-2n+12．由 对一切正整数n，都有an+2m=an成立．数列为周期数列，周期为2m．当m=3时，先求出数列{an}的前6项，再由周期为6写出数列{an}的第7至12项．
（2）由题意知，a23=-2是等差数列中的项，求出项数n，据an+2m=an成立知，数列为周期数列，周期为2m，由n+2m=n解出m的值．
（3）由．知≥2008，设f（m）=704m-64m2，，g（m）＞1920；f（m）=-64（m2-11m），在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在这样的m．
【解析】
（1）等差数列通项公式：an=10+（n-1）（-2）=-2n+12，
等比数列通项公式：am+n=•=，
∵对一切正整数n，都有an+2m=an成立．
∴数列为周期数列，周期为2m．
当m=3时，a1=-2×1+12=10，
a2=-2×2+12=8，
a3=-2×3+12=6，
a4=-2×4+12=4，
a5=-2×5+12=2，
a6=-2×6+12=0，
a7=a1=10，
a8=a2=8，
a9=a3=6，
a10=a4=4，
a11=a5=2，
a12=a6=0．
（2）由题意知，a23=-2是等差数列中的项，在等差数列中，
令-2n+12=-2，n=7，
对一切正整数n，都有an+2m=an成立，a23=-2，
∴7+2m=23，
∴m=8．
（3） ≥2008
，
设f（m）=704m-64m2，
g（m）＞1920；
f（m）=-64（m2-11m），对称轴 ，
所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，
所以不存在这样的m．