Question

已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a²•sinθ+a•cosθ+c=0，b²•sinθ+b•cosθ+c=0，则连接A（a²，a）、B（b²，b）两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为，则c=    ．

Answer

根据实数a与b满足的两个关系式得到a与b是一个一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，利用A与B的坐标写出直线AB的方程，然后由弦长及单位圆的半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线AB的距离，再利用点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离d，然d等于求出的距离列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解析】
由题知，实数a与b为一元二次方程的两个解，
所以a+b=-，ab=-，
又A（a2，a）、B（b2，b），
所以直线AB的方程为：y-a=（x-a2），化简得x-（a+b）y+ab=0，
∵弦长为，圆的半径r=1，∴圆心到直线AB的距离d==，
即==，
解得：c=±．
故答案为：