Question

已知偶函数f（x），对任意x₁，x₂∈R，恒有：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2x₁x₂+1，
（1）求f（0），f（1），f（2）的值；
（2）求f（x）；
（3）判断F（x）=[f（x）]²-2f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer

（1）直接令x1=x2=0得：f（0）=-1；同样x1=0，x2=1得：f（1）=0；令x1=x2=1得：f（2）=3；
（2）直接根据f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1以及f（x）=f（-x），f（0）=-1即可求出f（x）；
（3）先求出其解析式，再利用其导函数即可得到在（0，+∞）上的单调性．
【解析】
（1）直接令x1=x2=0得：f（0）=-1，
令x1=1，x2=-1得：f（1-1）=f（1）+f（-1）-2+1=2f（1）-1，∵f（0）=-1∴f（1）=0，
令x1=x2=1得：f（2）=3；
（2）因为：f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）+2x（-x）+1，
又f（x）=f（-x），f（0）=-1，
故f（x）=x2-1；
（3）∵F（x）=[f（x）]2-2f（x）=x4-4x2+3，
∴F′（x）=4x3-8x=4x（x2-2）=4x（x+）（x-）；
∴在（，+∞）上F′（x）＞0，在（0，）上F′（x）＜0
故函数F（x）在[）上是增函数，在（0，）上为减函数．