Question

已知数列{a_n}的前n项的和s_n=n²+1，数列{b_n}中，其前n项的和为T_n，设c_n=T_2n+1-T_n
（1）求b_n；      
（2）判断数列{c_n}的单调性；
（3）当n≥2时，恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）利用数列中Sn与an关系，先求出an，再由bn=，求数列{bn}的通项公式．
（2）由cn=++…+，知cn+1-cn=+-＜0，所以{cn}是递减数列．
（3）由题意须大于等于cn的最大值，转化成对数不等式的解，求出a的取值范围．
【解析】
（1）a1=2，an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）．
∴bn=
（2）∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1
=++…+，
∴cn+1-cn=+-＜0，
∴{cn}是递减数列．
（3）由题意须大于等于cn的最大值
由（2）可知当n=2时，cn取得最大值．原不等式移向化为：，继续整理得loga（a-1）＜-1，
由真数a-1＞0，a＞1，∴a-1＜化成a2-a-1＜0，解得1＜a＜．