Question

已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，过点（0，-1）的直线l与曲线E交于A，B两点，且．
（1）求曲线E的方程；
（2）求直线l的方程；
（3）问：曲线E上是否存在点C，使（O为坐标原点），若存在，则求出m的值和△ABC的面积S；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，由此能求出曲线E的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组，得（1-k2）x2+2kx-2=0．由直线与双曲线左支交于两点A，B，得和====，能求出直线l的方程．
（3）设C（x，y），由，得x1+x2=mx，且y1+y2=my.，（m≠0）．又，，所以点．C到AB的距离为，由此能求出△ABC的面积．
【解析】
（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知b=1，
故曲线E的方程为x2-y2=1（x≤-1）（3分）
（2）设直线l的方程为y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意建立方程组，消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0（4分）
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有解得（6分）
又∵====
整理后得：28k4-55k2+25=0，得或
但
∴故直线l的方程为（8分）
（3）设C（x，y），由已知，得x1+x2=mx，且y1+y2=my
∴，（m≠0）（9分）
又，
∴点（10分）
将点C的坐标代入曲线E的方程，得得m=±4，（11分）
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴m=4，C点的坐标为
所以C到AB的距离为（12分）
∴△ABC的面积（13分）