Question

动圆P与定圆O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，设P点的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点A（3，0）作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若当λ₁+λ₂=m时，求m的取值范围．

Answer

（1）Q1：（x+2）2+y2=9，Q2：（x-2）2+y2=1，动圆的半径为r，则|PQ1|=r+3，|PQ2|=r+1，|PQ1|-|PQ2|=2，由此能求出C的方程．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），当k不存在时，不合题意．直线PQ的方程为y=k（x-3），由此能求出m的取值范围．
【解析】
（1）Q1：（x+2）2+y2=9，Q2：（x-2）2+y2=1，
动圆的半径为r，则|PQ1|=r+3，
|PQ2|=r+1，|PQ1|-|PQ2|=2，…（3分）
点P的轨迹是以O1、O2为焦点的双曲线右支，
a=1，c=2，
方程为…（6分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
当k不存在时，不合题意．
直线PQ的方程为y=k（x-3），
则，
…（8分）
由∵x1、，
∴k2＞3…（10分）
…（14分）