Question

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题设中的定义知，可先得出与的展开式，整理成最简形式，根据题设条件判断出即可证明出结论；
（II）由题意f'（x）为f（x）的导函数，且时，|f'（x）|＜1可得出，由于在时，此不等式恒成立，故可构造出两个函数，将问题转化为gmax（x）＜a＜hmin（x），根据两函数的单调性求出gmax（x）与hmin（x），即可得到a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）任取x1，x2∈（0，+∞），则==，…（2分）
，…（3分）
∵x12+x22≥2x1x2，∴（x1+x2）2≥4x1x2，
又，…（5分）
又，
∴，
即．
∴f（x）为（0，+∞）上的下凸函数…（7分）
答：f（x）为（0，+∞）上的下凸函数
（Ⅱ）先对所给的函数求导得到，…（9分）
∵，
∴，…（11分）
∵恒成立，
设
则有gmax（x）＜a＜hmin（x），
又在上为增函数，在[1，2]上为减函数
∴gmax（x）=g（1）=-2…（12分），
而在上为增函数，
∴…（13分）
∴…（14分）
答：实数a的取值范围是（-2，-）