Question

已知一系列的抛物线C_n的方程为y=a_nx²（n∈N^*，a_n＞1），过点A_n（n，a_nn²）作该抛物线C_n的切线l_n与y轴交于点 B_n，F_n是 C_n的焦点，△A_nB_nF_n的面积为n³
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1+≤a_n＜2；
（3）设b_n=2a_n-a_n²，求证：当n≥1时，．

Answer

（1）An（n，ann2）在抛物线Cn上，y′=2anx，则切线ln的斜率为2ann，切线方程为  y-ann2=2 ann（x-n）．令x=0，得y=-ann2，由此能求出an．
（2）由an=1+=1+，{an}为递增数列，由an≥1+=1+，由此能证明1+≤an＜2．
（3）．由，知=，由此能够证明．
【解析】
（1）An（n，ann2）在抛物线Cn上，
∵y=anx2，
∴y′=2anx，
则切线ln的斜率为2ann，
切线方程为  y-ann2=2 ann（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-ann2，，
∴Bn（0，-ann2），
又Fn（0，）
∴S=（+ann2）n=n3
∴+ann2=2n2，即4n2an2-8n2an+1=0，…（3分）
∴△=64n4-16n2=16n2（4n2-1）＞0，
∵an＞1，
∴an=1+…（4分）
（2）证明：∵an=1+=1+，
{an}为递增数列，
∴an≥1+=1+．…（6分）
又an＜1+=2，
∴1+≤an＜2．…（8分）
（3）．证明：…（9分）
∴=
∵k≥2时，
=…（12分）
∴
=…（14分）