Question

一个公差不为零的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项．记{a_n}各项和的值为S．
（1）求S （用数字作答）；
（2）若{b_n}的末项不大于，求{b_n}项数的最大值N；
（3）记数列{c_n}，c_n=a_nb_n（n∈N*，n≤100）．求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer

（1）设{an}的公差为d（d≠0），由已知可得（5+3d）2=5（5+15d），从而可求d，an，及S
（2）由已知可求等比数列的公比q及通项公式，而，可求n的最大值．再由又bn+1＞bn，可得，n≥13时，可求N
（3）由（1）（2）可求Cn，然后考虑利用错位相减进行求和即可
【解析】
（1）设{an}的公差为d（d≠0），
由b1，b3，b5成等比数列，得b32=b1b5 
即（5+3d）2=5（5+15d）⇒d=5．
所以an=5n （n∈N*，n≤100 ）
 （6分）
（2）由b1=5，b3=20⇒q2=4（q＞0），
所以q=2，bn=5•2n-1 
由，
所以n的最大值为12．又bn+1＞bn，
所以，n≥13时，所以N=12．（12分）
（3）cn=25n•2n-1，
两式相减得-Tn=25（1+2+•22+…+2n-1-n•2n）=25[（1-n）2n-1]
Tn=25[（n-1）2n+1]（n∈N*，n≤100）（16分）