Question

P为椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，若使△F₁PF₂为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是    ．

Answer

由于分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，由椭圆的几何性质可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F1PF2最大，必须∠F1PF2＞90°，此时 ＜0，∴，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．
【解析】
由题意可知，分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．
而当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F1PF2最大，
由条件：欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，必须∠F1PF2＞90°，
故 ＜0，⇒，
∴，
又∵0＜e＜1，∴．
故答案为：．