Question

已知椭圆的左右焦点分别为F₁．F₂，过F₂且倾角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，对以下结论：①△ABF₂的周长为8；②原点到l的距离为1；③；其中正确的结论有几个（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

Answer

①由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．再由a2=4，能导出△ABF2的周长．②由F1（-1，0），AB的倾斜角为 ，知直线AB的方程为y=x+．由 消去y，得关于x的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理能够求出AB的长．
【解析】
①由椭圆的定义，
得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，
又AF1+BF1=AB，
所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．
又因为a2=4，
所以a=2，
故△ABF2的周长为8．（6分）
②由条件，得F1（-，0），
因为过F2且倾角为45°的直线l斜率为1，
故直线l的方程为y=x+．（8分）
原点到l的距离为d=，故②正确；
由 ，
消去y，得3x2+4x=0，（10分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
解得 ．
所以 （14分）
故③正确．
故选A．