Question

（理）设函数f（x）=a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n），其中a_i、α_i（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R．
下列关于函数f（x）的性质判断正确的命题的序号是    ．
①若，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若，则函数f（x）为偶函数；
④当时，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

Answer

对于②，先由f（0）=0，得出a1•sin（α1）+a2•sin（α2）+…+an•sin（αn）=0，要判断函数为奇函数，只需验证f（-x）+f（x）=0；
对于③，先由，得出-a1•cos（α1）-a2•cos（α2）+…-an•cos（αn）=0，要判断函数为偶函数，只需验证f（-x）-f（x）=0；
对于①：由①知函数f（x）为奇函数，由②知函数为偶函数，从而f（x）=0；
对于④：当时，由f（x1）=f（x2）=0，得（sinx1-sinx2）（a1cosα1+…+ancosαn）+（cosx1-cosx2）（a1sinα1+…+ansinαn），故可得结论．
【解析】
对于②：若f（0）=0，则f（0）=a1•sin（α1）+a2•sin（α2）+…+an•sin（αn）=0，
f（-x）+f（x）=a1•sin（-x+α1）+a2•sin（-x+α2）+…+an•sin（-x+αn）+a1•sin（x+α1）+a2•sin（x+α2）+…+an•sin（x+αn）=cosx[a1•sinα1+a2•sinα2+…+an•sinαn]=0，∴函数f（x）为奇函数；
对于③：若，则f（）=a1•sin（+α1）+a2•sin（+α2）+…+an•sin（+αn）=-a1•cos（α1）-a2•cos（α2）+…-an•cos（αn）=0，∴f（-x）-f（x）=a1•sin（-x+α1）+a2•sin（-x+α2）+…+an•sin（-x+αn）-a1•sin（x+α1）-a2•sin（x+α2）-…-an•sin（x+αn）=sinx[a1•cosα1+a2•cosα2+…+an•cosαn]=0，∴函数f（x）为偶函数；
对于①：若，则函数f（x）为奇函数，也为偶函数，∴f（x）=0对任意实数x恒成立；
对于④：当时，若f（x1）=f（x2）=0，则f（x1）=a1•sin（x1+α1）+a2•sin（x1+α2）+…+an•sin（x1+αn）=a1•sin（x2+α1）+a2•sin（x2+α2）+…+an•sin（x2+αn）=0，∴（sinx1-sinx2）（a1cosα1+…+ancosαn）+
（cosx1-cosx2）（a1sinα1+…+ansinαn），∴可得x1-x2=kπ（k∈Z）．
故答案为：①②③④．