Question

已知函数（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）①判断函数f（x）的奇偶性；②用定义判断函数f（x）的单调性；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer

（1）先由原函数式反解出2x，再利用2x的取值范围建立关于y的不等关系，解不等式即可；
（2）分别利用函数奇偶性和单调性的定义求解即可，对于奇偶性的判断，只须考虑f（-x）与f（x）的关系即得；对于单调性的证明，先在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，再比较f（x1）-f（x2）即可；
（3）先依据函数y=f（x）在R上单调性化掉符号：“f”，将问题转化为关于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范围．
【解析】
（1）∵，（2分）
又2x＞0，∴-1＜y＜1
∴函数f（x）的值域为（-1，1）（4分）
（2）证明：①∵，（6分）
∴函数f（x）为奇函数（7分）
②=
在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，（8分）
则（10分）
∵x1＜x2，∴0＜，
从而f（x1）-f（x2）＜0（11分）
∴函数f（x）在R上为单调增函数（12分）
（3）由（2）得函数f（x）为奇函数，在R上为单调增函数
∴f（1-m）+f（1-m2）＜0即f（1-m）＜-f（1-m2），
∴f（1-m）＜f（m2-1），1-m＜m2-1（14分）
∴原不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）（16分）