Question

如图，正方体ABDC-A₁B₁C₁D₁，点M、N分别在   AD₁、AC₁上
（1）若AM=MD₁，AN=NC₁，试判断直线MN与A₁C₁的位置关系；并求MN与A₁C₁所成的角；
（2）若AM=2MD₁，AN=2NC₁，试判断直线MN与平面A₁B₁AB的关系，并证明．

Answer

（1）取A1D1、D1C1的中点E、F，连接EF，根据中位线可知MN∥EF，而A1B1∥D1C1则∠D1FE就是所求，在△D1FE求出此角即可；
（2）直线MN与平面ABCD平行，欲证直线MN与平面ABCD平行，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面ABCD内一直线平行，分别过点M，N作底面的垂线交AD，DC于点P，Q，连接PQ，可证四边形PMNQ为平行四边形，从而MN||PQ，而PQ在平面ABCD内，满足定理所需条件．
【解析】
（1）直线MN与A1C1成异面直线．
取A1D1、D1C1的中点E、F，连接EF
∴MN∥EF，
又∵A1B1∥D1C1
∴∠D1FE就是所求．
由题意得：△D1FE为等腰直角三角形，∠D1FE=45°
∴MN与A1B1所成的角为45°．（5分）
（2）直线MN与平面ABCD平行．
证明：分别过点M，N作底面的垂线交AD，DC于点P，Q，连接PQ．
∴MP||DD1，NQ||CC1，MP||NQ
∵AM=2MD1，ND=2NC1，
∴MP=DD1，NQ=CC1
∴MP=NQ，即四边形PMNQ为平行四边形，
∴MN||PQ
又∵PQ在平面ABCD内，
∴直线MN与平面ABCD平行．（10分）