Question

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．若f（x）能表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和
（1）求g（x）与h（x）的解析式
（2）设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）在（2）的条件下，若p（t）≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）利用奇（偶）函数的关系式和方程思想，求出两个函数的解析式，再由条件证明对应函数的奇偶性，最后把函数f（x）的解析式代入求解；
（2）把 两边平方后整体代入g（2x）进行化简，再代入函数p（t）解析式进行化简；
（3）根据h（x）在所给区间上的单调性，求出t的范围，由（2）求出的解析式对p（t）化简，求出m关于t的关系式，再由t的及函数的单调性可求m的范围
【解析】
（1）由题意可得2x+1=f（x）=g（x）+h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数
∵2x+1=f（x）=g（x）+h（x），
∴2-x+1=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x）
∴g（x）=2x+2-x，h（x）=2x-2-x
（2）由 ，则t∈R，平方得 ，
∴，
∴p（t）=t2+2mt+m2-m+1．
（3）∵t=h（x）=在区间[1，2]上单调递增，
∴
若p（t）≥m2-m-1对于x∈[1，2]恒成立
则t2+2mt+2＞0
∴2m≥-（t+）在[]恒成立
而-（）在[]单调递减，则t=时取得最大值-
∴m≥-