Question

奥运会火炬传递准备在某省8个城市中选取6个制定传递路线，满足下列条件的方法各有多少种？
（1）甲乙两个城市只选1个，有多少种方法？有多少条不同的路线？
（2）甲乙两个城市至少选1个，有多少种方法？有多少条不同的路线？

Answer

（1）①甲乙两个城市只选1个，属于有限制的组合问题，可分两步考虑，第一步，先从甲乙两个城市中选一个，再从剩下的6个城市中任选5个，最后把两步相乘即可．
②欲求有多少条不同的路线，只需把①中所选出的6个城市进行再全排列即可．
（2）①甲乙两个城市至少选1个，则可能选一个，也可能选两个，所以先分两类，第一类，甲乙两个城市选1个，则需再从剩余6个城市中选5个，第二类，甲乙两个城市都选，则需再从剩余的6个城市中再选4个，把两类的选法相加，就是总的选法．
②欲求有多少条不同的路线，只需把①中所选出的6个城市进行再全排列即可．
【解析】
（1）①分两步计算，第一步，先从甲乙2个城市中选一个，有C21=2种不同的选法
第二步，从剩下的6个城市中任选5个城市，有C65=6种不同的选法
两步方法数相乘，共有2×6=12种不同的选法．
②不选出的城市再进行全排列，有12A66=8640条不同的路线．
（2）①分两类．第一类，甲乙两个城市之选一个，根据（1），有12种不同的选法，
第一类，甲乙两个城市都选，再从剩下的6个城市中选4个，有C64=15种选法
∴共有12+15=27种不同的选法
②不选出的城市再进行全排列，有27A66=19440条不同的路线．