Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB与BB₁的中点，
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A₁D₁B；
（Ⅱ）求二面角F-DE-C大小的正切值．

Answer

（I）要证EF⊥平面A1D1B，只需证A1D1⊥EF，A1B⊥EF
（II）要求二面角F-DE-C大小的正切值，关键是找出二面角的平面角．延长DE、CB交于N，过B作BM⊥EN交于M，连FM，则∠FMB为二面角F-DE-C的平面角，故可求．
证明：（I）∵A1D1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，
∴A1D1⊥EF
∵A1B⊥AB1，EF∥AB1，
∴A1B⊥EF
∴EF⊥平面A1D1B；
【解析】
（II）延长DE、CB交于N，∵E为AB中点，∴△DAE≌△NBE
过B作BM⊥EN交于M，连FM，
∵FB⊥平面ABCD
∴FM⊥DN，∴∠FMB为二面角F-DE-C的平面角
设AB=a，则BM=    又BF=
∴tan∠FMB==，即二面角F-DE-C大小的正切值为