Question

已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，点（-1，1）在边AD所在的直线上，
（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；
（2）已知直线l：（1-2k）x+（1+k）y-5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．

Answer

（1）由lAB：x-3y-6=0且AD⊥AB，点（-1，1）在边AD所在的直线上，得到AD所在直线的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0，求出交点的坐标，得到结果．
（2）根据所给的直线的方程看出直线是一个过定点的直线，判断出定点在圆的内部，证明出直线与圆一定有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=，得到当θ=90°时，d最大，|MN|最短，再写出直线的方程．
【解析】
（1）由lAB：x-3y-6=0且AD⊥AB，点（-1，1）在边AD所在的直线上
∴AD所在直线的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0
由得A（0，-2）…（3分）
∴
∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x-2）2+y2=8…（6分）
（2）直线l的方程可化为：k（-2x+y+4）+x+y-5=0l可看作是过直线-2x+y+4=0和x+y-5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）
由于（3-2）2+22=5＜8知点在圆内，
∴直线与圆恒有交点，
设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=
当θ=90°时，d最大，|MN|最短，
此时l的斜率为PQ斜率的负倒数-，
∴l：y-2=-（x-3）
即x+2y-7=0